Статья
DOI:
Полный текст:
В процессе имеющей место на сегодняшний день алгебраизации математики возрастает роль абстрактной алгебры, широко известной в новейших исследованиях под названиями современная и общая алгебра, в современных научных исследований. В последние десятилетия сфера ее применения стремительно, охватывая не только математику, но и другие науки: естественные, технические, экономические и др. В них довольно часто используются результаты исследований абстрактной алгебры.
Идеи и методы абстрактной алгебры играют фундаментальную роль в совместных научных разработках исследованиях дискретных и непрерывных математических моделей и составляют математическую основу информатики. Создаваемые на ее базе средства используются в организации и анализе больших объемов данных для научных исследований, в реализации вычислительных процессов в самых различных областях науки и производства. По этой причине те или иные элементы абстрактной алгебры активно внедряются в математическом образовании на всех его уровнях.
Для факультативных занятий по математике в школе опубликованы методические пособия и статьи, посвященные обучению важным элементам абстрактной алгебры из ее классических областей – теории групп, колец и полей. В то же время отсутствуют работы, предназначенные для обучения в школе элементам теории решеток, также являющейся классической областью современной алгебры.
В статье представлена методика внедрения в содержание профильного обучения на факультативных занятиях в школе понятия «решетка» и важных свойств ее элементов. А также – понятий «изоморфные («равные») решетки» и «автоморфизм («симметрия») решеток». Они особенно важны для ознакомления и освоения в классах с углубленным изучением математики, физики, химии и некоторых других предметов.
Идеи и методы абстрактной алгебры играют фундаментальную роль в совместных научных разработках исследованиях дискретных и непрерывных математических моделей и составляют математическую основу информатики. Создаваемые на ее базе средства используются в организации и анализе больших объемов данных для научных исследований, в реализации вычислительных процессов в самых различных областях науки и производства. По этой причине те или иные элементы абстрактной алгебры активно внедряются в математическом образовании на всех его уровнях.
Для факультативных занятий по математике в школе опубликованы методические пособия и статьи, посвященные обучению важным элементам абстрактной алгебры из ее классических областей – теории групп, колец и полей. В то же время отсутствуют работы, предназначенные для обучения в школе элементам теории решеток, также являющейся классической областью современной алгебры.
В статье представлена методика внедрения в содержание профильного обучения на факультативных занятиях в школе понятия «решетка» и важных свойств ее элементов. А также – понятий «изоморфные («равные») решетки» и «автоморфизм («симметрия») решеток». Они особенно важны для ознакомления и освоения в классах с углубленным изучением математики, физики, химии и некоторых других предметов.
Алфутова В. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математиче-ских школ. Москва: MЦНМО, 2005. 320 с.
Alfutova V. V., & A. V. Ustinov. Algebra and Number Theory: A Collection of Problems for Mathematics Schools. Moscow: MCNMO, 2005. 320 p. (in Russian)
Антипов И. Н., Виленкин Н. Я. и др. Факультативный курс. Избранные вопросы мате-матики. Для учащихся 7–8 классов. Москва: Просвещение, 1978. 192 c.
Antipov I. N., Vilenkin N. Ya., et al. Optional Course: Selected Problems in Mathematics: For Students of Grades 7–8. Moscow: Prosveshchenie, 1978. 192 p. (In Russian)
Биркгоф Г. Теория решеток. Москва: Наука, 1984. 568 c.
Birkhoff G. Lattice Theory. Moscow: Nauka, 1984. 568 p. (In Russian)
Вейль Г. Симметрия. Москва: Наука, 1968. 190 с.
Weyl H. Symmetry. Moscow: Nauka, 1968. 190 p. (In Russian)
Волошинов А. В. Математика и искусство: Книга для тех, кто не только любит ма-тематику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Москва: Просвещение, 2000. 399 с.
Voloshinov A. V. Mathematics and Art: A Book for Those Who Not Only Like Mathematics or Art but Also Wish to Reflect on the Nature of Beauty and the Beauty of Science. Moscow: Prosvesh-chenie, 2000. 399 p. (In Russian)
Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. Москва: Педагогическое общество России, 2000. 480 с.
Davydov V. V. Types of Generalization in Instruction. Moscow: Pedagogicheskoe obshchestvo Rossii, 2000. 480 p. (In Russian)
Деменчук В. В. На пороге алгебры. Минск: Вышэйшая школа, 1987. 144 c.
Demenchuk V. V. On the Threshold of Algebra. Minsk: Vysheishaia shkola, 1987. 144 p. (In Russian)
Дополнительные главы по курсу математики: учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 9 классов, составитель П. В. Стратилатов. Москва: Просвещение, 1974. 142 c.
Additional Chapters to the Mathematics Course: A Supplementary Textbook for an Optional Course for Grade 9 Students, compiled by P. V. Stratilatov. Moscow: Prosveshchenie, 1974. 142 p. (In Russian)
Калужнин Л. А., Сущанский В. А. Преобразования и перестановки. Москва: Наука, 1974. 117 c.
Kaluzhnin L. A., Sushchansky, V. A. Transformations and Permutations. Moscow: Nauka, 1974. 117 p. (In Russian)
Красовский Н. Н. Математическое моделирование в школе. Известия Уральского го-сударственного университета. 1995, № 4, с. 12–24.
Krasovsky N. N. Mathematical Modeling at School. Proceedings of the Ural State University, 1995, no. 4, pp. 12–24. (In Russian)
Математическая энциклопедия: в 5 т., т. 1. (А–Г), под редакцией И. М. Виноградова. Москва: Советская энциклопедия, 1979. 1152 стб.
Mathematical Encyclopedia: in 5 vols., vol. 1 (A–G), edited by I. M. Vinogradov. Moscow: Sovetskaia entsiklopediia, 1979. 1152 cols. (In Russian)
Перминов Е. А. Дискретная математика: учебное пособие для 8–9-х классов средней общеобразовательной школы. Екатеринбург: ИРРО, 2004. 206 с.
Perminov E. A. Discrete Mathematics: A Textbook for Grades 8–9 of Secondary General Edu-cation School. Yekaterinburg: IRRO, 2004. 206 p. (In Russian)
Перминов Е А. Методическая система обучения дискретной математике сту¬ден¬тов педагогических направлений. Екатеринбург: Издательство Российского государственного профессионально-педагогического университета, 2015. 256 с.
Perminov E. A. Methodological System for Teaching Discrete Mathematics to Students of Ped-agogical Programs. Ekaterinburg: Izdatelstvo Rossiiskogo gosudarstvennogo professionalnopeda-gogicheskogo universiteta, 2015. 256 p. (In Russian)
Перминов Е. А. О диаграммных решетках. ВИНИТИ, № 340-85ДЕП, 1985, 9 c.
Perminov E. A. On Diagram Lattices. VINITI, no. 340-85DEP, 1985. 9 p. (In Russian)
Перминов Е. А. О методике обучения дисциплине «Элементы теории формальных язы-ков» будущих инженеров. Пространство педагогических исследований, 2024, т. 1, № 4, с. 34–52. ; EDN: LAQXIM
Perminov E. A. On Methodology of Teaching “Elements of the Theory of Formal Languages” to Future Engineers. Education Research Environtment, 2024, vol. 1, no. 4, pp. 34–52. (In Russian) ; EDN: LAQXIM
Перминов Е. А. О методологии отражения элементов современной алгебры в содержа-нии математической и методической подготовки будущих учителей. Вестник Вятского гос-ударственного гуманитарного университета, 2014, № 8, c. 115–120. EDN: SYACZZ
Perminov E. A. On the Methodology of Reflecting Elements of Modern Algebra in the Content of Mathematical and Methodological Training of Future Teachers. Bulletin of Vyatka State Humani-ties University, 2014, no. 8, pp. 115–120. (In Russian) EDN: SYACZZ
Перминов Е. А. О развивающем обучении в формировании представлений о понятиях изоморфизма и автоморфизма графов и решеток. Математика в современном мире: мате-риалы II Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 160-летию видного российского математика Д. А. Граве (Вологда, 19–23 сентября 2023 г.), под редакцией
В. А. Тестова, Н. В. Масловой. Вологда: ВоГУ, 2023, с. 151–155. EDN: DAZXYE
Perminov E. A. On Developmental Instruction in Forming Concepts of Graph and Lattice Iso-morphism and Automorphism. In: Mathematics in the Modern World: Proceedings of the II All-Russian Scientific and Practical Conference Dedicated to the 160th Anniversary of the Prominent Russian Mathematician D. A. Grave (Vologda, September 19–23, 2023), edited by V. A. Testov and N. V. Maslova. Vologda: VoGU, 2023, pp. 151–155. (In Russian) EDN: DAZXYE
Перминов Е. А. О роли дискретной математики в изучении понятий хаоса, порядка и фрактала в вузах. Материалы XVI Колмогоровских чтений: 3-я Международная научно-методическая конференция (Кострома, 7–9 декабря 2021 г.), под редакцией В. В. Сековано-ва. Кострома: Костромской государственный университет, 2021, с. 37–42. EDN: YGCYMI
Perminov E. A. On the Role of Discrete Mathematics in the Study of the Concepts of Chaos, Order, and Fractal in Higher Education Institutions. In: Proceedings of the XVI Kolmogorov Rea-dings: 3rd International Scientific and Methodological Conference (Kostroma, December 7–9, 2021), edited by V. V. Sekovanov. Kostroma: Kostromskoi gosudarstvennyi universitet, 2021, pp. 37–42. (In Russian) EDN: YGCYMI
Тестов В. А. О формировании понятия группы. Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: периодический межвузовский сборник научно-методических работ, вып. 7, под редакцией Е. М. Вечтомова. Киров: ВятГГУ, 2005. 276 c.
Testov V. A. On the Formation of the Concept of Group. In: Mathematical Bulletin of Peda-gogical Institutes and Universities of the Volga-Vyatka Region: Periodical Interuniversity Collection of Scientific and Methodological Works, issue 7, edited by E. M. Vechtomov. Kirov: VyatGGU, 2005. 276 p. (In Russian)
Тестов В. А., Перминов Е. А. Трансдисциплинарная роль физико-математических дис-циплин в современном естественнонаучном и инженерном образовании. Образование и наука, 2023, т. 25, № 7, с. 14–43. ; EDN: ZJHRWV
Testov V. A., Perminov E. A. Transdisciplinary Role of Physical and Mathematical Disciplines in Contemporary Natural Science and Engineering Education. Education and Science, 2023, vol. 25, no. 7, pp. 14–43. (In Russian) ; EDN: ZJHRWV
Антипов И. Н., Виленкин Н. Я. и др. Факультативный курс. Избранные вопросы мате-матики. Для учащихся 9 классов. Москва: Просвещение, 1979. 191 c.
Antipov I. N., Vilenkin, N. Ya., et al. Optional Course: Selected Problems in Mathematics: For Grade 9 Students. Moscow: Prosveshchenie, 1979. 191 p. (In Russian)
Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Москва: Мир, 1979. 260 c.
Fried E. An Elementary Introduction to Abstract Algebra. Moscow: Mir, 1979. 260 p. (In Rus-sian)
Alfutova V. V., & A. V. Ustinov. Algebra and Number Theory: A Collection of Problems for Mathematics Schools. Moscow: MCNMO, 2005. 320 p. (in Russian)
Антипов И. Н., Виленкин Н. Я. и др. Факультативный курс. Избранные вопросы мате-матики. Для учащихся 7–8 классов. Москва: Просвещение, 1978. 192 c.
Antipov I. N., Vilenkin N. Ya., et al. Optional Course: Selected Problems in Mathematics: For Students of Grades 7–8. Moscow: Prosveshchenie, 1978. 192 p. (In Russian)
Биркгоф Г. Теория решеток. Москва: Наука, 1984. 568 c.
Birkhoff G. Lattice Theory. Moscow: Nauka, 1984. 568 p. (In Russian)
Вейль Г. Симметрия. Москва: Наука, 1968. 190 с.
Weyl H. Symmetry. Moscow: Nauka, 1968. 190 p. (In Russian)
Волошинов А. В. Математика и искусство: Книга для тех, кто не только любит ма-тематику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Москва: Просвещение, 2000. 399 с.
Voloshinov A. V. Mathematics and Art: A Book for Those Who Not Only Like Mathematics or Art but Also Wish to Reflect on the Nature of Beauty and the Beauty of Science. Moscow: Prosvesh-chenie, 2000. 399 p. (In Russian)
Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. Москва: Педагогическое общество России, 2000. 480 с.
Davydov V. V. Types of Generalization in Instruction. Moscow: Pedagogicheskoe obshchestvo Rossii, 2000. 480 p. (In Russian)
Деменчук В. В. На пороге алгебры. Минск: Вышэйшая школа, 1987. 144 c.
Demenchuk V. V. On the Threshold of Algebra. Minsk: Vysheishaia shkola, 1987. 144 p. (In Russian)
Дополнительные главы по курсу математики: учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 9 классов, составитель П. В. Стратилатов. Москва: Просвещение, 1974. 142 c.
Additional Chapters to the Mathematics Course: A Supplementary Textbook for an Optional Course for Grade 9 Students, compiled by P. V. Stratilatov. Moscow: Prosveshchenie, 1974. 142 p. (In Russian)
Калужнин Л. А., Сущанский В. А. Преобразования и перестановки. Москва: Наука, 1974. 117 c.
Kaluzhnin L. A., Sushchansky, V. A. Transformations and Permutations. Moscow: Nauka, 1974. 117 p. (In Russian)
Красовский Н. Н. Математическое моделирование в школе. Известия Уральского го-сударственного университета. 1995, № 4, с. 12–24.
Krasovsky N. N. Mathematical Modeling at School. Proceedings of the Ural State University, 1995, no. 4, pp. 12–24. (In Russian)
Математическая энциклопедия: в 5 т., т. 1. (А–Г), под редакцией И. М. Виноградова. Москва: Советская энциклопедия, 1979. 1152 стб.
Mathematical Encyclopedia: in 5 vols., vol. 1 (A–G), edited by I. M. Vinogradov. Moscow: Sovetskaia entsiklopediia, 1979. 1152 cols. (In Russian)
Перминов Е. А. Дискретная математика: учебное пособие для 8–9-х классов средней общеобразовательной школы. Екатеринбург: ИРРО, 2004. 206 с.
Perminov E. A. Discrete Mathematics: A Textbook for Grades 8–9 of Secondary General Edu-cation School. Yekaterinburg: IRRO, 2004. 206 p. (In Russian)
Перминов Е А. Методическая система обучения дискретной математике сту¬ден¬тов педагогических направлений. Екатеринбург: Издательство Российского государственного профессионально-педагогического университета, 2015. 256 с.
Perminov E. A. Methodological System for Teaching Discrete Mathematics to Students of Ped-agogical Programs. Ekaterinburg: Izdatelstvo Rossiiskogo gosudarstvennogo professionalnopeda-gogicheskogo universiteta, 2015. 256 p. (In Russian)
Перминов Е. А. О диаграммных решетках. ВИНИТИ, № 340-85ДЕП, 1985, 9 c.
Perminov E. A. On Diagram Lattices. VINITI, no. 340-85DEP, 1985. 9 p. (In Russian)
Перминов Е. А. О методике обучения дисциплине «Элементы теории формальных язы-ков» будущих инженеров. Пространство педагогических исследований, 2024, т. 1, № 4, с. 34–52. ; EDN: LAQXIM
Perminov E. A. On Methodology of Teaching “Elements of the Theory of Formal Languages” to Future Engineers. Education Research Environtment, 2024, vol. 1, no. 4, pp. 34–52. (In Russian) ; EDN: LAQXIM
Перминов Е. А. О методологии отражения элементов современной алгебры в содержа-нии математической и методической подготовки будущих учителей. Вестник Вятского гос-ударственного гуманитарного университета, 2014, № 8, c. 115–120. EDN: SYACZZ
Perminov E. A. On the Methodology of Reflecting Elements of Modern Algebra in the Content of Mathematical and Methodological Training of Future Teachers. Bulletin of Vyatka State Humani-ties University, 2014, no. 8, pp. 115–120. (In Russian) EDN: SYACZZ
Перминов Е. А. О развивающем обучении в формировании представлений о понятиях изоморфизма и автоморфизма графов и решеток. Математика в современном мире: мате-риалы II Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 160-летию видного российского математика Д. А. Граве (Вологда, 19–23 сентября 2023 г.), под редакцией
В. А. Тестова, Н. В. Масловой. Вологда: ВоГУ, 2023, с. 151–155. EDN: DAZXYE
Perminov E. A. On Developmental Instruction in Forming Concepts of Graph and Lattice Iso-morphism and Automorphism. In: Mathematics in the Modern World: Proceedings of the II All-Russian Scientific and Practical Conference Dedicated to the 160th Anniversary of the Prominent Russian Mathematician D. A. Grave (Vologda, September 19–23, 2023), edited by V. A. Testov and N. V. Maslova. Vologda: VoGU, 2023, pp. 151–155. (In Russian) EDN: DAZXYE
Перминов Е. А. О роли дискретной математики в изучении понятий хаоса, порядка и фрактала в вузах. Материалы XVI Колмогоровских чтений: 3-я Международная научно-методическая конференция (Кострома, 7–9 декабря 2021 г.), под редакцией В. В. Сековано-ва. Кострома: Костромской государственный университет, 2021, с. 37–42. EDN: YGCYMI
Perminov E. A. On the Role of Discrete Mathematics in the Study of the Concepts of Chaos, Order, and Fractal in Higher Education Institutions. In: Proceedings of the XVI Kolmogorov Rea-dings: 3rd International Scientific and Methodological Conference (Kostroma, December 7–9, 2021), edited by V. V. Sekovanov. Kostroma: Kostromskoi gosudarstvennyi universitet, 2021, pp. 37–42. (In Russian) EDN: YGCYMI
Тестов В. А. О формировании понятия группы. Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: периодический межвузовский сборник научно-методических работ, вып. 7, под редакцией Е. М. Вечтомова. Киров: ВятГГУ, 2005. 276 c.
Testov V. A. On the Formation of the Concept of Group. In: Mathematical Bulletin of Peda-gogical Institutes and Universities of the Volga-Vyatka Region: Periodical Interuniversity Collection of Scientific and Methodological Works, issue 7, edited by E. M. Vechtomov. Kirov: VyatGGU, 2005. 276 p. (In Russian)
Тестов В. А., Перминов Е. А. Трансдисциплинарная роль физико-математических дис-циплин в современном естественнонаучном и инженерном образовании. Образование и наука, 2023, т. 25, № 7, с. 14–43. ; EDN: ZJHRWV
Testov V. A., Perminov E. A. Transdisciplinary Role of Physical and Mathematical Disciplines in Contemporary Natural Science and Engineering Education. Education and Science, 2023, vol. 25, no. 7, pp. 14–43. (In Russian) ; EDN: ZJHRWV
Антипов И. Н., Виленкин Н. Я. и др. Факультативный курс. Избранные вопросы мате-матики. Для учащихся 9 классов. Москва: Просвещение, 1979. 191 c.
Antipov I. N., Vilenkin, N. Ya., et al. Optional Course: Selected Problems in Mathematics: For Grade 9 Students. Moscow: Prosveshchenie, 1979. 191 p. (In Russian)
Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Москва: Мир, 1979. 260 c.
Fried E. An Elementary Introduction to Abstract Algebra. Moscow: Mir, 1979. 260 p. (In Rus-sian)
Ключевые слова:
математическое образование, школа, профильное обучение, элементы абстрактной алгебры, решетка
Для цитирования:
Перминов Е. А. О методике обучения элементам теории решеток на факультативных занятиях по математике в школе. Пространство педагогических исследований, 2026, т. 3, № 1, с. 45–64. https://doi.org/10.23859/3034-1760.2026.35.17.004; EDN: RIZHNQ
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.